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固有値問題はたしかに美人だ 僕のヒップにしゃがんで「うちに来ない」と誘った
固有値問題はタフかと聞くんだ 濡れたリップがしぼんだ 僕はちょっぴり笑った

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線型代数と固有値問題―スペクトル分解を中心に

線型代数と固有値問題―スペクトル分解を中心に
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要は固有値のことをスペクトルと言う。またスペクトル分解＝固有値問題ということですね。このスペクトルは量子力学に出てくる、固有値関数の話につながります。岸野 正剛「今日から使える物理数学」ｐ．139から143も必見
一番手軽なのが「線型代数ア・ラ・カルト 」数セミ増刊、「マトリクスの固有値と対角化」町田東一や武田 二郎氏の本です。「プログラミングのための線形代数」平岡和幸、「線型代数学序説」銀林 浩も分かりやすいです。要するにスペクトルとは固有値のたくさん集まった集合だそうです。
ネットで内積については「物理のかぎしっぽ」が一番わかりやすかったです。



「量子力学のための線型代数」とでも呼べそうな快著。
とても丁寧に、しかも易しく書かれている。
清水明、量子論の基礎、サイエンス社 と併読すると
初心者は得られる所大であろうと思う。
特に「線型空間の複素化」は佐武一郎の本でやろうとすると
数学専攻・数学好きでもない限りかなり骨が折れると思うが、
本書では大変分かり易く説明してある。
余り有名な本ではなさそうなのだが、隠れた良書と言える。

行列の固有値―最新の解法と応用

行列の固有値―最新の解法と応用
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感想:
行列を用いた数値計算は物性物理など様々な分野で使われているが、その方法をきめ細かく解説してある。ランチェス法などは大変参考になると思う。その辺のプログラムを書く人は是非読んでおきたい本である。

固有値問題30講 (数学30講シリーズ)

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感想:
とりあえず線形代数を学んでから読むべき本です。
未確認飛行
ufcpp.net/study/linear/eigen.htmlのHPをコピペして読みましょう。
スペクトルとは「固有値全体の集合」という意味の言葉です。
非可換な代数を表現する理論は「行列」の理論（線形代数）である。これを無限次元の拡張したのが関数解析である。「関数解析とは無限次元の線形代数である」 吉田耕作先生のお言葉です。関数解析とはおおまかに言えば、線形代数（行列の固有値、固有ベクトル、正規直交化、写像など）の話を実数や複素数の代わりに関数でもやってみようということです。線形空間に位相を導入する理由は、連続性の議論（収束の概念）を行いたいからで、特にＢａｎａｃｈ空間やＨｉｌｂｅｒｔ空間のような無限次元空間において必要不可欠だからである。加法と乗法（和とスカラ倍）という二つの算法の代数的構造に解析的（距離と収束の位相）概念を導入して考察するのが関数解析。ノルムを使って位相的諸概念（点列の収束、極限、閉集合、開集合）を議論する。
2次元平面や3次元空間のベクトルの長さを抽象化してノルムの概念が生まれた。ノルム空間というだけでは、解析学の基本である極限操作はできないので、空間がその操作に閉じている必要がある、これが完備性（コーシー列が収束）という性質で、それを満たすベクトル空間をＢａｎａｃｈ空間という。そのなかでも、内積が誘導されたノルムを持つのがＨｉｌｂｅｒｔ空間である。あらためて内積が定義されているベクトル空間を内積空間（または計量ベクトル空間）ということにする。内積空間では正規直交基底やシュミットの正規直交化法など直交補空間、直和分解など論じられる。距離の概念を入れることによってはじめて２点の距離を測る数直線や実数列でやった収束の位相的解析的概念を論じることができる。Ｈｉｌｂｅｒｔ空間が有限次元のとき、線形作用素は行列で表現できる。したがってＨｉｌｂｅｒｔ空間上の線形作用素の理論は無限次元の行列論と見ることが出来る。線形空間の基底概念とは任意のベクトルを有限個の基底ベクトルの線形結合で表わせるものはいつでも存在するということ。線形代数でベクトルを成分表示すると、直交基底ベクトルで表わされるが、関数空間でも完全正規直交系ができ、関数の成分表示が可能となる。その具体的な、イメージが「フーリエ展開」である。内積空間が完備性を持つとき、「ヒルベルト空間」という、一方ノルム空間が完備性を持つとき、「バナッハ空間」という。
連続、不連続を問わずあらゆる関数をサインとコサインで表現できるフーリエ級数。それを無限区間に拡張するのがフーリエ変換という。関数解析から量子物理学へとつながる新井 朝雄の名著「 ヒルベルト空間と量子力学」とつなげて行ければ良いのでは。この本に出てくる積分方程式については数学セミナー1995年5月号p.20を読むこと。


初学者だとタイトルから関数解析の本だと分からないと思うが、関数解析の入門書としてお勧めしたい。初学者が最も知りたい「なぜ関数解析を考えるのか？」という動機を丁寧に説明しているので好感が持てる。読後にはルベーグ積分から関数解析へと上手く接続される。

しかし、ヒルベルト空間は扱っているもののバナッハ空間やソボレフ空間については全く触れていない。また、リースの(表現)定理は扱っているのにハーン・バナッハの定理やラックス・ミルグラムの定理は省略されている。さらに、ベールのカテゴリー定理や３つの基本的原理(一様有界性の原理、開写像定理、閉グラフ定理)も省略されている。

このように重要な定理がほとんど抜け落ちてしまっている為、この本だけでは関数解析全般を学習するに!は不充分なのである。その不充分さが本のタイトルを関数解析とはしなかった理由の一つでもあろう。それ故、読後にもう一冊専門的な本を読まないといけない。そういう意味ではルベーグ積分と関数解析の中間を埋める本と言えるのかもしれない。

専門的な本を読んだ後に、同著者の「無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち」もあわせてお勧めしたい。こちらはバナッハ、シュタインハウス、シャウダーといった人達が登場する「固有値問題30講」後の関数解析の歴史物語である。


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固有値 - Wikipedia

18世紀初頭、ヨハン・ベルヌーイとダニエル・ベルヌーイ、ダランベール および オイラーらは、いくつかの質点がつけられた重さのない弦の運動を研究しているうちに固有値問題につきあたった。 ... 19世紀中ごろ、リュービユは、スツルムの固有値問題の類似研究を行った。 ...
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E5%95%8F%E9%A1%8C

固有値問題

固有値問題. まず、行列式を定義する。 行列式 はn次の正方行列とする。 この時、行列式は ... この問題を考 えるとき、次の定理群は重要である。 固有値問題に関する諸定理 ... (4) 固有値問題 から。 行列式 になれば、自明解以外の解が存在する。 ...
http://www.sci.hokudai.ac.jp/~inaz/doc/B/math/node18.html

一般化固有値問題

一般化固有値問題. 桂田 祐史. この文書は以下から入手可能。 ... 標準固有値問題の計算法については ... についての固有値問題の解法. 5 精度保証付き数値計算. A. 雑題. A..1 ノルム. A..2 Rayleigh ...
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/generalized-eigenvalue-problem/

固有値問題概観

本章では本書の中で議論の対象とするすべての固有値問題を、その基本的な数学的特 ... これらの固有値問題の起源や相関関係を説明するために、それぞれについて関連ある ... これはまた固有値問題の特別なケースとし て、たとえば 同じ 近 ...
http://phase.hpcc.jp/ETHOME/chap02-01.pdf

固有値問題 とは

18世紀初頭、ヨハン・ベルヌーイとダニエル・ベルヌーイ、ダランベール および オイラーらは、いくつかの質点がつけられた重さのない弦の運動を研究しているうちに固有値問題につきあたった。 ... 19世紀中ごろ、リュービユは、スツルムの固有値問題の類似研究を行った。 ...
http://www.weblio.jp/content/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E5%95%8F%E9%A1%8C

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lapack++もit++も一般化固有値問題を解くルーチンが無い

いや、関数を複数使えば解けるんだけど、LAPACKにあるdggevとかdsygvを直接叩く関数を提供していない。自分で実装すればいいけれど、lapack++やit++を介して直接LAPACKを叩くことはできないっぽい（できるならだれか教えて）ので、自分でdsygvの宣言を ...
http://raeyoan.blog120.fc2.com/blog-entry-109.html

[マトリックス]シュレーディンガー方程式を理解する 03 - （復習 ...

「固有値問題」が「行列」に関連しているコトは思い出した。 固有値問題.
http://d.hatena.ne.jp/tsu44510/20081025/1224923097

かしわと蓮根の煮物が美味しい日

固有値問題の主旨を理解し、解けるようにする。 以上の3つが主題です。そして、もっと極端に言えば、 固有値問題が解ければそれだけでいいかもしれない。 ただこれがなかなか難しい。 理系の現場の多くで、固有値問題をサクサクと解く必要があります。 ...
http://attacco.blog.eonet.jp/default/2008/11/post-16e2.html

基本中の基本が分かってない...

は次の問題に帰着される. subject to . ラグランジュの未定乗数法を使ってやると、簡単に固有値問題に帰着できる。 各基底ベクトル で微分して整理すると... 自己相関行列の固有ベクトルがMMSE基準の基底ベクトルになることが分かる。 ...
http://d.hatena.ne.jp/b3s/20081114/1226651456

math/py-symeig - 1.4

symeigモジュールは、対称形の（hermitian）陽確かな基材のための基準と分化していない固有値問題を解決するために、LAPACK機能のためにパイソン包装紙を含みます。それらの専門アルゴリズムは、NumPy（linalg.eigとlinalg.eigh）により用いられる一般的 ...
http://blog.livedoor.jp/freshports/archives/995668.html

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固有値問題-OKwave&Yahoo!知恵袋

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